Si el mundo fuera plano todo sería muy distinto. Y con plano no me refiero a un disco, como en algún momento se pensó que era la Tierra; no, con plano quiero decir sin volumen, como si no existiera la tercera dimensión.
Entonces las cosas tendrían menos grosor que una hoja de papel. Perdón, qué digo, no tendrían grosor alguno. Las personas y los edificios serían como ver una fotografía, siempre lisos, y no existirían cosas como poliedros, ni nudos, ni esferas, ni burbujas, y el decirle a nuestro amigo que si sigue comiendo se va a poner rechoncho no tendría el mismo sentido. Para dar direcciones bastaría con decir: más hacia arriba, tres pasos hacia abajo, camina hacia la derecha, se encuentra a tu izquierda… pero, ¿mencionar adelante y atrás?, ¡eso sería imposible! Todo, absolutamente todo, estaría exactamente a la misma profundidad.
El pensar en esto ha causado fascinación desde hace mucho y podemos encontrar ejemplos fantásticos de descripciones de lugares así. Tal vez el más sobresaliente es un libro llamado Planilandia (originalmente en inglés Flatland), donde un cuadrado cuenta la vida de ese país plano y su visita por los países de otras dimensiones. Así, el señor Cuadrado, quien vive en un mundo por completo de figuras geométricas, descubre que no puede ver al señor
Imaginemos nosotros cómo serían las cosas en un mundo con tan sólo dos dimensiones. En realidad, cualquier imagen sobre una superficie plana es casi como si tuviéramos un pequeño pedazo de ese mundo, ya que, aunque la imagen nos dé una sensación de profundidad, si pasamos nuestro dedo sobre ella sentiremos únicamente algo liso.
Ya sé, me dirán que esto es muy tonto, y que además en un dibujo fácilmente podemos simular esa tercera dimensión faltante. Sin embargo, esto no siempre fue trivial y durante el Renacimiento los artistas dedicaron mucho tiempo a investigar, de forma muy científica, cómo lograr una adecuada representación plana del mundo en que vivimos.
Para ver lo complicado que puede resultar esto hagamos el dibujo de un cubo, fácilmente dibujamos unas cuantas líneas y con ello logramos la impresión de que lo que tenemos en nuestra hoja plana de papel, en realidad tiene volumen. Como hemos visto muchas veces la figura, nuestra cerebro nos dice que hay líneas que tienen que ser más largas y otras más cortas, e incluso nos sabemos el juego de ilusión óptica que un cubo dibujado sin perspectiva (ver imagen 1) nos causa.
Para hacer un poco más claro esto, tomemos ahora la imagen de la Jaula de Penrose o cubo imposible (ver imagen 2), la cual es imposible de hacer materialmente. Esta figura es muy parecida al cubo, pero tiene un pequeño truco que se encuentra cuando observamos las líneas con atención. Ahora el juego de ilusión óptica es mucho más obvio, y claro, nuestros amigos nos dirán que el dibujo de ese cubo está mal, ya que esa figura en nuestro mundo tridimensional no puede existir.
Pero, ¿qué pasaría si existiera? El artista holandés M.C. Escher hizo a su vez un dibujo de un lugar donde, a pesar de parecerse mucho a nuestro mundo, este cubo imposible sí existiría.
En este dibujo llamado Belvedere (ver imagen 3) vemos un mirador de dos pisos y gente en él, hay escaleras y columnas que sostienen el techo y un gran paisaje de fondo. Pero si miramos con más calma, parece que las columnas están mal dibujadas o que algo raro sucede, ya que las de atrás parecen ir hacia enfrente y cruzarse con las que estaban enfrente para ir hacia atrás, igual sucede con la escalera que lleva al segundo piso y que estando dentro del edificio termina fuera de él, y aún peor, no hay concordancia entre la orientación de un piso con el otro. Así es, todo el edificio parece ser una especie de cubo imposible.
Aunque si recordamos que ése es un mundo sin volumen de pronto las cosas no tienen nada de extraño. Las columnas no pueden cruzarse si no hay adelante y atrás y la escalera no tiene ningún problema cuando no existe adentro y afuera. ¿Y por qué sabemos que se trata de un mundo plano y no que Escher era en realidad un mal dibujante? Tal vez porque todos parecen estar tranquilos y haciendo su vida normal, y sobre todo porque hay uno de ellos muy pensativo con un objeto extraño entre sus manos, que sí, es precisamente el cubo imposible del que hemos estado hablando.
Si tuviera que contar alguna historia sobre este lugar hablaría de la gente plana dedicada a hacer edificios planos y
Así, ya que lo único que en ningún lugar puede ser plana es la imaginación, este personaje es quien se dedicaría a contar sobre las figuras extrañas e inexistentes de su mundo, como lo sería un cubo y cualquier otra cosa con volumen. Indudablemente causaría gran intriga el pensar en ese lugar fantástico donde hubiera una tercera dirección para moverse, y así platicaría como cuento de hadas las implicaciones que este maravilloso lugar tendría. Y, por qué no, hasta hablaría de las figuras que no tendrían sentido en un mundo con volumen.
En nuestro mundo con volumen también existen matemáticos, y son precisamente ellos quienes nos ayudan a describir lugares imaginarios como este dibujo y quienes, además de hablar sobre el espacio en que vivimos y al que estamos acostumbrados, crean figuras que nos parecen imposibles y que nunca podrán existir en nuestro mundo, pero sí en otros que ellos mismos se imaginan y nos dicen cómo son.
Como este cubo existen otras figuras también llamadas imposibles por su falta de coherencia en nuestra dimensión pues aquí no podrían existir físicamente; sin embargo, podemos dibujarlas y tener una representación de ellas en dos dimensiones. Y gracias a las matemáticas podemos ir más allá y comenzar a hablar de espacios tridimensionales que, sin ser el nuestro, se comportan de forma distinta y permiten que una variedad de figuras extrañas sí puedan existir. De esta manera, aunque físicamente sean imposibles, una vez establecidas las reglas del juego, ¡son matemáticamente correctas!
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